Question

如图，抛物线y=mx²+2mx-3m（m≠0）的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B点在A点右侧），点H、B关于直线l：对称，过点B作直线BK∥AH交直线l于K点．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，设顶点为N，直接写出NK的长．

Answer

（1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点A、B的坐标；然后把点A的坐标代入直线l的解析式，计算即可证明点A在直线上；
（2）根据轴对称的性质可得AH=AB，根据直线l的解析式求出直线l与x轴的夹角为30°，然后得到∠HAB的度数是60°，过点H作HC⊥x轴于点C，然后解直角三角形求出AC、HC，从而得到OC的长度，然后写出点H的坐标，再把点H的坐标代入抛物线解析式计算求出m的值，即可得解；
（3）根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BK的解析式的k值，然后利用待定系数法求出直线BK的解析式，与直线l的解析式联立求解得到点K的值，再利用抛物线解析式求出相应横坐标上的点，从而求出抛物线向上移动的距离，然后得到平移后的抛物线的顶点N的坐标，根据两点间的距离公式计算即可得到NK的值．
【解析】
（1）令y=0，则mx2+2mx-3m=0（m≠0），
解得x1=-3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），

证明：∵直线l：y=x+，
当x=-3时，y=×（-3）+=-+=0，
∴点A在直线l上；

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y=x+对称，
∴AH=AB=4，
设直线l与x轴的夹角为α，则tanα=，
所以，∠α=30°，
∴∠HAB=60°，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=AB=2，HC==2，
∴顶点H（-1，2），
代入抛物线解析式，得m×（-1）2+2m×（-1）-3m=2，
解得m=-，
所以，抛物线解析式为y=-x2-x+；

（3）∵过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，
∴直线BK的k=tan60°=，
设直线BK的解析式为y=x+b，
∵B点坐标为（1，0），
∴+b=0，
解得b=-，
∴直线BK的解析式为y=x-，
联立，
解得，
∴点K的坐标为（3，2），
当x=3时，y=-×32-×3+=-6，
∴平移后与点K重合的点的坐标为（3，-6），
平移距离为2-（-6）=8，
∵平移前顶点坐标为（-1，2），
2+8=10，
∴平移后顶点坐标N（-1，10），
∴NK===4，
所以，NK的长是4．