Question

如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC至E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）试判断线段BG与DE有何关系，并且说明理由．
（2）当正方形ABCD的边长BC=6，CE=2时，求GF的长．

Answer

（1）BG=DE，根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得：BC=CD、∠BCF=∠DCE=90°，又CE=CF，根据边角边定理证明△BCF和△DCE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）由勾股定理和已知数据可求出BG的长，利用有两对角相等的三角形相似可证明：△BGC∽△DGF，利用相似三角形的性质可得关于GF的比例式，把数据代入比例式即可求出GF的长．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；∠CBG=∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，即BF⊥DE，
线段BG与DE垂直且相等．
（2）∵∠BCD=90°，
∴△BCG是直角三角形，
∴BG2=BC2+CG2，
∵CE=CG=2，BC=6，
∴BG==2，
∵BC=DC=6，CG=2，
∴DG=DC-CG=4，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC=∠GDC，
∵∠BGC=∠DGF，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
GF==．