Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P在AB上AP=2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后以原速度沿AB向点B运动．点F运动到点B时停止．点E也随之停止运动．在点E、F运动过程中．以EF为边作正方形 EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形 EFGH它与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）写出AC、BC的长；
（2）当t=1时，正方形 EFGH的边长是______，当t=3时，正方形 EFGH的边长为______；
（3）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式．
（4）直接写出，在整个运动过程中，当正方形 EFGH它与△ABC重叠部分是直角梯形时t的取值范围．

Answer

（1）可设AC=4x，则BC=3x，根据勾股定理可得方程，从而求出AC、BC的长；
（2）当t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（3）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（4）E点与A点重合或F点与B点重合时，正方形EFGH与△ABC重叠部分是直角梯形，依此得到t的取值．
【解析】
（1）设AC=4x，则BC=3x，依题意有
（4x）2+（3x）2=102，
解得x1=2，x2=-2（负值舍去），
则AC=4x=8、BC=3x=6．
故AC的长为8、BC的长为6；

（2）当t=1时，则PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的边长是2；
当t=3时，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的边长是4．
故答案为：2，4；

（3）当正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状为正方形时，0＜t≤，
S与t的函数关系式是S=2t×2t=4t2；
当t=时EFGM是梯形，
故当＜t≤时，
S与t的函数关系式是：
S=4t2-×[2t-（2-t）]×[2t-（2-t）]，
=-t2+t-；
当＜t≤2时；
S与t的函数关系式是：
S=（t+2）×（t+2）-×（2-t）（2-t）=3t；

（4）当t=1或6时，正方形EFGH与△ABC重叠部分是直角梯形．