Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．
（1）求证：BC=CD；
（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG；
（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．

Answer

（1）延长DE交BC于F，得平行四边形ABFD，根据平行四边形的性质以及锐角三角函数的概念找到线段之间的关系，从而证明结论；
（2）根据旋转的性质，只需说明ED=GD，CE=CG，即可证明；
（3）根据已知条件，要证明P是CD的中点，只需证明PD=AD，借助全等即可证明．
证明：（1）延长DE交BC于F，
∵AD∥BC，AB∥DF，
∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．
在Rt△DCF中，
∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，
∴，
即CD=2CF，
∵CD=2AD=2BF，
∴BF=CF，
∴BC=BF+CF=CD+CD=CD．
即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
由（1）知BC=CD，
∵CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C，D都在EG的垂直平分线上，
∴CD垂直平分EG．

（3）连接BD，
由（2）知BE=DE，
∴∠1=∠2．
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．
∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．
由（1）知BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．
又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD，
∴DP=AD．
∵AD=CD，∴DP=CD．
∴P是CD的中点．