Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．运动时间为t秒．
（1）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于多少秒？
（2）设五边形ABQPD的面积为S，写出S与t的函数关系式．
（3）PQ能否平分梯形ABCD，说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q、C三点构成直角三角形．

Answer

（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，由相似三角形的性质即可求出t的值；
（2）分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，先由等腰梯形的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据∠B=∠C，用t表示出PG的长，再由S五边形ABQPD=S梯形ABCD-S△PQC即可得出结论；
（3）由（2）可知，S梯形ABCD=36，PG=4-t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S△PQC=18，由此可得出关于t的一元二次方程，求出此方程无解即可；
（4）分别当∠PQC=90°时，易证，△CQP∽△CND，当∠CPQ=90°时，易证△CQP∽△CDN，进而得出即可．
【解析】
（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，
∵AB∥MD，PQ∥AB，
∴PQ∥MD，
∴=，
∵CD=5，AD=6，BC=12，
∴MC=BC-BM=12-6=6，
∴=，
解得t=（秒）；

（2）如图2，分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=12，
∴BE===3，
∵AB=5，
∴AE===4，
∴sinB==，
∵∠B=∠C，sinC==，
∴=，
解得PG=4-t，
∴S五边形ABQPD=S梯形ABCD-S△PQC=×（6+12）×4-×2t×（4-t），即S=t2-4t+36（0＜t≤5）；

（3）不能．
∵由（2）可知，S梯形ABCD=36，PG=4-t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S△PQC=18，
∴×2t×（4-t）=18，即2t2-10t+45=0，
∵△=（-10）2-4×2×45=-260＜0，
∴此方程无解，
∴PQ不能平分梯形ABCD；

（4）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠PQC=90°时，△CQP∽△CND，
∴=，=，解得t=；
如图4，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠CPQ=90°时，△CQP∽△CDN，
∴=，=，解得t=．
综上所述，当t=或t=时点P、Q、C三点构成直角三角形．