Question

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若m为整数，且抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；
（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．

Answer

（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0求出方程的解x=2；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=（m+1）2得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．求出方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0的解x1=2，，根据题意得出|2-x2|=2，求出x，x2=0或x2=4，进一步求出m即可；
（3）得出方程组①，②，根据一元二次方程的根的判别式求出b的范围即可．
（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；
②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2
∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；
综合①、②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．

（2）【解析】
设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．
令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x1=2，，
∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．
∵|x1-x2|=2，
∴|2-x2|=2，
∴x2=0或x2=4，∴m=1或（不合题意舍去），
当m=1时，y=x2-2x，
把（2，0）代入，左边=右边，
m=1符合题意，
∴抛物线解析式为y=x2-2x
答：抛物线解析式为y=x2-2x；

（3）【解析】
①由，
得x2-3x-b=0，
∴△=9+4b，
∵直线y=x+b与抛物线y=x2-2x没有交点，
∴△=9+4b＜0，
∴
∴当，直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点．

∴b的取值范围是b＜-．
②，
-x2+2x-=x+b
x2-3x+（8+3b）=0，
∵直线y=x+b与抛物线y=-x2+2x-没有交点，
∴△=（-3）2-4×1×（8+3b）＜0，
b＞-，
即b的取值范围是：b＜-或b＞-．