Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求AB的长．

Answer

（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，可求得∠ABC与∠ADC的度数，然后在Rt△ABD中，利用直角三角形的性质，求得∠ADB的度数，继而求得∠BDC的度数；
（2）首先过点B作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，在Rt△BCE中，由BC=2，∠C=60°，利用三角函数的知识即可求得BE，CE的长，又由∠BDC=45°，求得CE的长，继而求得DF的长，又由AD∥BC，∠A=90°，DF⊥BC，求得AB=DF．
【解析】
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，
∴∠ABC=90°，∠ADC=180°-∠C=120°．
在Rt△ABD中，∵∠A=90°，∠ABD=15°，
∴∠ADB=75°． 
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°．

（2）过点B作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
在Rt△BCE中，∵BC=2，∠C=60°，
∴BE=BC•sinC=，CE=BC•cosC=1．
∵∠BDC=45°，
∴DE=BE=．
∴CD=DE+CE=+1．  
∵BC•DF=CD•BE，
∴DF=． 
∵AD∥BC，∠A=90°，DF⊥BC，
∴AB=DF=．