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如图,在平面直角坐标系中,梯形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为A(-3,0)...

如图,在平面直角坐标系中,梯形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为A(-3,0),B(15,0),D(0,4),且CD=10.一条抛物线经过C、D两点,其顶点M在x轴上,点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿AD向点D运动,到点D后又以每秒3个单位的速度沿DC向点C运动,到点C停止;同时,点E从点B出发以每秒5个单位的速度沿BO运动,到点O停止.过点E作y轴的平行线,交边BC或CD于点Q,交抛物线于点R.设P、E两点运动的时间为t(秒).
(1)写出点M的坐标,并求这条抛物线的解析式.
(2)当点Q和点R之间的距离为8时,求t的值.
(3)直接写出使△MPQ成为直角三角形时t值的个数.
(4)设P、Q两点之间的距离为d,当2≤d≤7时,求t的取值范围.

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(1)首先求得C的坐标,则M的坐标即可求得,利用待定系数法即可求得函数的解析式; (2)首先求得直线BC的解析式,当Q和点R之间的距离为8时,PQ一定在C点的右侧,则根据Q和点R之间的距离为8,即可得到一个关于x的方程,求得x的值,即E点的横坐标,则BE即可求得,从而求得时间t; (3))△MDC是等腰三角形,且是钝角三角形,∠DMC是钝角,且P和Q同时分别到达D和C,因而△MPQ的顶点P,Q在CD上移动时,三角形的三个角都可能是直角; (4)首先判断当当2≤d≤7时,P,Q都在线段CD上,即可列不等式组求解. 【解析】 (1)∵梯形ABCD中,AB∥CD,D的坐标是(0,4),CD=10, ∴C的坐标是(10,4), ∴M的坐标是(5,0), 设抛物线的解析式是:y=a(x-5)2,把(0,4)代入得:25a=4,解得:a=, 则抛物线的解析式是:y=(x-5)2; (2)设直线BC的解析式是y=kx+b,根据题意得:,解得:,则直线的解析式是:y=-x+12, 根据题意得:(x-5)2-(-x+12)=8,解得:x=(x=<0,故舍去), 则x=.即OE=,BE=OB-OE=15-=,则t==; (3)△MDC是等腰三角形,且是钝角三角形,∠DMC是钝角,且P和Q同时分别到达D和C. 因而△MPQ的顶点P,Q在CD上移动时,三角形的三个角都可能是直角,成为直角三角形; 点Q到达点D停止,但点P还在运动,还会出现一个直角三角形,故t的值有4个; (4)作CF⊥AB于F. 则BF=5, 在直角△AOD中,AD===5, ∵点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿AD向点D运动,点E从点B出发以每秒5个单位的速度沿BO运动. ∴P从A到D,以及E由B到F,即Q到达C,都需要1秒. ∵CD=10>7, ∴当2≤d≤7时,P,Q都在线段CD上. 设经过x秒,P、Q相遇,则3(x-1)+5(x-1)=10,解得:x=, 设经过t秒,P、Q两点之间的距离为d,且2≤d≤7,当P、Q相遇以前时:则PQ=10-3(t-1)-5(t-1)=18-8t, 则2≤18-8t≤7, 解得:≤t≤2. 相遇以后,即t≥时:PQ=3(t-)+5(t-)=8t-18,则2≤8t-18≤7,当3(t-1)=7时,t=解得:≤t≤. 总之,t的取值范围是:≤t≤2或≤t≤.
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考点分析:
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(2)从(1)中选出一个使y有最大值的关系式,并求出y的最大值.
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(4)对于(1)中所有的关系式,在同时满足y随x的增大而增大时,直接写出x的取值范围.
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(3)在全校3000名读者中,若对某个栏目最感兴趣的人数少于300人将会影响社刊的销售,这个栏目就需要被撤换.请通过计算判断,“新书上架”栏目是否需要被撤换.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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