Question

如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．
（1）求点O到BD的距离及∠OBD的度数；
（2）若DE=2BE，求cos∠OED的值和CD的长．

Answer

（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，根据圆周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度数，也可得出OF的长度；
（2）设BE=2x，则可表示出DF、EF的长度，从而可解出x的值，在RT△OEF中，利用三角函数值的知识可求出∠OED的度数，也可得出cos∠OED的值，判断出DO⊥AC，然后利用等腰直角三角形的性质可得出CD的长度．
【解析】
（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=30°，
∵AC为⊙O的直径，AC=4，
∴OB=OD=2．
在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，
∴OF=OB•sin∠OBF=2sin30°=1，
即点O到BD的距离等于1．

（2）∵OB=OD，OF⊥BD于点F，
∴BF=DF．
由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵BF=OB•cos30°=，
∴，EF=，
在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED==，
∴∠OED=60°，cos∠OED=，
∴∠BOE=∠OED-∠OBD=30°，
∴∠DOC=∠DOB-∠BOE=90°，
∴∠C=45°．
∴CD=OC=2．