Question

已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
（1）求证：BF∥AC；
（2）若AC边的中点为M，求证：DF=2EM；
（3）当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

Answer

（1）根据点B与点D关于关于直线CH的对称，可得BF=DF，根据等边对等角可得∠1=∠2，再证明∠A=∠2，再根据内错角相等，两直线平行可证出AC∥FB；
（2）首先取FD的中点N，连接HM、HN，再证明四边形ENHM是平行四边形，由平行四边形的性质可得HN=EM，在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得NH=DF，再利用等量代换可得DF=2EM；
（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE．连接CD，证明△ABE≌△DCE可得BE=CE；由BF=DF得∠CFE=∠BFC．由所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF，进而得到∠CFE=∠ECF，可得EF=CE，即可得到BE=EF=CE．
证明：（1）如图1．
∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，直线DE交直线CH于点F，
∴BF=DF，DH=BH．
∴∠1=∠2．
又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，
∴∠A=∠2．
∴BF∥AC；

（2）如图2，取FD的中点N，连接HM、HN．
∵H是BD的中点，N是FD的中点，
∴HN∥BF．
由（1）得BF∥AC，
∴HN∥AC，即HN∥EM．
∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC边的中点为M，
∴，
∴∠A=∠3，
∴∠EDA=∠3，
∴NE∥HM，
∴四边形ENHM是平行四边形，
∴HN=EM，
∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，
∴，即DF=2HN，
∴DF=2EM；

（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． 
证明：连接CD．（如图3）
∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，
∴BC=CD，∠ABC=∠5．
∵AB=BC，
∴∠ABC=180°-2∠A，
 AB=CD．①
∵∠EDA=∠A，
∴∠6=180°-2∠A，AE=DE．②
∴∠ABC=∠6=∠5．
∵∠BDE是△ADE的外角，
∴∠BDE=∠A+∠6．
∵∠BDE=∠4+∠5，
∴∠A=∠4．③
由①，②，③得△ABE≌△DCE．
∴BE=CE． 
由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．
由（1）中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF．
∴∠CFE=∠ECF．
∴EF=CE．
∴BE=EF．
∴BE=EF=CE．