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如图,在▱ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB...

如图,在▱ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A、E之间,连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确的是( )
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边△;④CG⊥AE.
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A.只有①②
B.只有①②③
C.只有③④
D.①②③④
根据题意,结合图形,对选项一一求证,判定正确选项. 【解析】 ∵△ABE、△ADF是等边三角形 ∴FD=AD,BE=AB ∵AD=BC,AB=DC ∴FD=BC,BE=DC ∵∠B=∠D,∠FDA=∠ABE ∴∠CDF=∠EBC ∴△CDF≌△EBC,故①正确; ∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+(180°-∠CDA)=300°-∠CDA, ∠FDC=360°-∠FDA-∠ADC=300°-∠CDA, ∴∠CDF=∠EAF,故②正确; 同理可得:∠CBE=∠EAF=∠CDF, ∵BC=AD=AF,BE=AE, ∴△EAF≌△EBC, ∴∠AEF=∠BEC, ∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°, ∴∠FEC=60°, ∵CF=CE, ∴△ECF是等边三角形,故③正确; 在等边三角形ABE中, ∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段 ∴如果CG⊥AE,则G是AE的中点,∠ABG=30°,∠ABC=150°,题目缺少这个条件,CG⊥AE不能求证,故④错误. 故选B.
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考点分析:
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