Question

等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D和E在AB边上，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，则DE=    或    ．

Answer

根据题意画出图形，分两种情况讨论．根据∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°判断出△ACE∽△CDE∽△BDC，利用相似三角形的性质列出比例式，由比例式得到关于x的方程，解方程可得到DE的长．
【解析】
如图1：设DE=x，则AB=7+x，
∵∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°
∴△ACE∽△CDE∽△BDC，
设CD=a，CE=b，
则有以下等式：
x：b=b：3+x，
x：a=a：4+x，
x：a=b：AC，
整理得，b2=x（x+3），
a2=x（x+4），
x•AC=ab，
x2（x+3）（x+4）=a2b2=x2•AC2=，
解得，x=5；
如图2：与（1）类似，
得12x2=a2b2=，
x=7-2或x=7+2＞7（舍去），
∴x=5或x=7-2．