Question

已知：如图AB是半圆0的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，切线PC交BA的延长线于点P，AD，DB的长是关于x的方程x²-（4m+2）+4m²=0（m＞0）的两根，且AD：DB=1：4，求：PO、PC的长．

Answer

先设AD=x，则BD=4x，由于AD：BD=1：4，可知方程x2-（4m+2）+4m2=0（m＞0）有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系可得x+4x=4m+2，x•4x=4m2，由于m＞0，可得x=m，把x=m代入x+4x=4m+2，可求x=2，进而可知AD=2，BD=8，那么AB=10，则圆半径是5，再根据垂径定理可求CD=4，进而可求OD、AD，根据勾股定理可得PC2=（PA+2）2+16①，再根据切割线定理可得PC2=PA2+10PA②，①②联合，可求PA=，PC=，进而可求PO．
【解析】
设AD=x，则BD=4x，
∵AD：BD=1：4，
∴方程x2-（4m+2）+4m2=0（m＞0）有两个不相等的实数根，
∴x+4x=4m+2，x•4x=4m2，
∵m＞0，
∴x=m，
∴5m=4m+2，
解得m=2，
∴AD=x=2，BD=4x=8，
∴AB=10，
∴OA=OB=OC=5，
连接OC、AC、BC，如右图，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴CD2=AD•BD，
∴CD=4，
∴OD==3，
∴AD=2，
在Rt△PCD中，PC2=PD2+CD2，
即PC2=（PA+2）2+16①，
∵PC是⊙O切线，PB是割线，
∴PC2=PA（PA+AB），
即PC2=PA2+10PA②，
①②联合解得PA=，PC=，
∴PO=PA+OA=．