Question

如图所示，抛物线y=ax²++c经过原点O和A（4，2），与x轴交于点C，点M、N同时从原点O出发，点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）在点M、N运动过程中，
①若线段MN与OA交于点G，试判断MN与OA的位置关系，并说明理由；
②若线段MN与抛物线相交于点P，探索：是否存在某一时刻t，使得以O、P、A、C为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法将A点坐标为（4，2），O点坐标为（0，0），代入求出二次函数解析式即可，进而利用y=0，求出图象与x轴交点坐标，即可得出C点坐标；
（2）①过点A作AB⊥x轴于点B，则OB=4，AB=2，进而得出Rt△MON∽Rt△OBA，即可求出MN⊥OA；
②依题意可得：当点P是点A关于抛物线对称轴的对称点时，四边形APOC为等腰梯形，得出P点坐标，及M（0，2t），N（t，0）设直线MN的解析式为y=kx+2t，将点N、P的坐标代入得求出t的值即可．
【解析】
（1）依题意，A点坐标为（4，2），O点坐标为（0，0），
代入解析式得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+；
令y=0，则有0=-x2+，
解得x1=0，x2=6，
故点C坐标为（6，0）；

（2）①MN⊥OA，
理由如下：过点A作AB⊥x轴于点B，则OB=4，AB=2
由已知可得：==，
∴Rt△MON∽Rt△OBA，
∴∠AOB=∠NMO，
∵∠NMO+∠MNO=90°，∴∠AOB+∠MNO=90°，
∴∠OGN=90°，∴MN⊥OA，
②存在
设点P的坐标为（x，y），依题意可得：当点P是点A关于抛物线对称轴的对称点时，四边形APOC为等腰梯形．
则点P坐标为（2，2），及M（0，2t），N（t，0）
设直线MN的解析式为y=kx+2t
将点N、P的坐标代入得
，
解得：（不合题意舍去），，
所以，当t=3秒时，四边形OPAC是等腰梯形．