Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且BC=CD=2AD，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．
（1）求证：CD垂直平分EG．
（2）求证：直线BE平分线段CD．

Answer

（1）根据旋转的性质，只需说明ED=GD，CE=CG，即可证明；
（2）根据已知条件，要证明直线BE平分线段CD，如图，只需证明PD=AD，借助全等，只要证明△BAD≌△BPD，即可证明．
证明：（1）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C，D都在EG的垂直平分线上，
∴CD垂直平分EG．

（2）连接BD，延长BE交CD于点P，
由（1）知BE=DE，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠DBC，
又∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∴∠4=∠BDP，
又∵BD=BD，
∴△BAD≌△BPD，
∴DP=AD，
∴CD=2AD=2DP，
∴DP=PC=CD，
∴直线BE平分线段CD．