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如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥...

manfen5.com 满分网如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF,BE=2.
(1)求EC:CF的值;
(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;
(3)在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
(1)由同角的余角相等得到∠1=∠2,故有Rt△ABE∽Rt△ECF⇒AB:CE=BE:CF⇒EC:CF=AB:BE=5:2; (2)在AB上取BH=BE,连接EH,根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP,从而得到AE=EP; (3)先证△DAM≌△ABE,继而可得四边形DMEP是平行四边形. 【解析】 (1)如图1.∵AE⊥EF, ∴∠2+∠3=90°, ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠B=∠C=90°, ∵∠1+∠3=90°, ∴∠1=∠2, ∴△ABE∽△ECF, ∴AB:CE=BE:CF, ∴EC:CF=AB:BE=5:2 (2)如图2,在AB上取BG=BE,连接EG, ∵ABCD为正方形, ∴AB=BC, ∵BE=BG, ∴AG=EC, 在△AGE和△ECP中 , ∴△AGE≌△ECP(ASA), ∴AE=EP; (3)存在.顺次连接DMEP. 如图3. 在AB取点M,使AM=BE, ∵AE⊥EF, ∴∠2+∠3=90°, ∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠BCD=90°, ∴∠1+∠3=90°, ∴∠1=∠2, ∵∠DAM=∠ABE=90°,DA=AB, ∴△DAM≌△ABE(SAS), ∴DM=AE, ∵AE=EP, ∴DM=PE, ∵∠1=∠5,∠1+∠4=90°, ∴∠4+∠5=90°, ∴DM⊥AE, ∴DM∥PE ∴四边形DMEP是平行四边形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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