Question

如图，在直角梯形OABC中，OA、OC边所在直线与x、y轴重合，BC∥OA，点B的坐标为（6.4，4.8），对角线OB⊥OA．在线段OA、AB上有动点E、D，点E以每秒2厘米的速度在线段OA上从点O向点A匀速运动，同时点D以每秒1厘米的速度在线段AB上从点A向点B匀速运动．当点E到达点A时，点D同时停止运动．设点E的运动时间为t（秒），
（1）求线段AB所在直线的解析式；
（2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；
（3）在运动过程中，存不存在某个时刻，使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似，若存在求出这个时刻t，若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据相似三角形的判定得出△BOH∽△BOA，进而得出A点坐标，再由点B的坐标为（6.4，4.8），利用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点D作DF⊥OA，垂足为F，DF∥BH，得出△ADF∽△ABH，得出DF=0.8t，进而得出S△ADE的值以及y与t的关系式；
（3）分别根据①∠ADE=90°，当=时，△ADE∽△ABO，以及②∠AED=90°，当=时，△AED∽△ABO，得出答案即可．
【解析】
（1）过点B作BH⊥OA，垂足为点H，
∵∠COA=90°，BC∥OA，
∴∠BCO=90°，
∴四边形COHB是矩形，
∴BH=CO，BC=OH，
∵B（6.4，4.8），
∴OH=6.4，BH=4.8，
∴OB==8；
∵OB⊥BA，
∴∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠OHB=90°，
∵∠BOH=∠AOB，
∴△BOH∽△BOA，
∴=，
∴OB2=AO•OH
∴82=OA•6.4，
OA=10，
∴AB==6，
∴A（10，0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
，
解得：，
∴y=-x+；

（2）过点D作DF⊥OA，垂足为F．
∴DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴=，
=，
DF=0.8t，
∵OE=2t，AE=10-2t，
S△ADE=AE•DF=（10-2t）×0.8t=4t-t2，
∴y=24-4t+t2（0＜t≤5），

（3）分两种情况：
①∠ADE=90°，
∵∠BAO=∠DAE，
当=时，
△ADE∽△ABO，
=，
解得：t=，
②∠AED=90°，
∵∠OAB=∠DAE，
当=时，
△AED∽△ABO，
∴=，
解得：t=，
∴当t=或t=秒时，以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似．