Question

如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．

Answer

方法一：根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，对角相等可得∠ABC=∠ADC，再根据等角的补角相等可得∠ABE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
方法二：根据菱形的四条边都相等，再利用菱形的面积证明即可．
证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，
∴180°-∠ABC=180°-∠ADC，
即∠ABE=∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF．

方法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴菱形ABCD的面积=BC•AE=CD•AF，
∴AE=AF．