Question

已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）如图，求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．

Answer

（1）只要证∠EDO=90°，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据平行的性质可得知：∠CAB=45°所以，sin∠CAE=．
（1）证明：
证法一：如图1，连接OD、DB；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E为BC边上的中点，
∴CE=EB=DE，
∴∠1=∠2．
∵OB=OD，
∴∠3=∠4．
∴∠1+∠4=∠2+∠3．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，
∴∠EDO=∠1+∠4=90°．
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．

证法二：如图2，连接OD、OE．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵E为BC边上的中点，O为AB边上的中点，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△EDO≌△EBO，
∴∠EDO=∠EBO．
∵△ABC为直角三角形，
∴∠EBO=90°，
∴∠EDO=90°；
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠CAB=45°时，D为线段AC的中点，切线DE∥AB，
四边形ODEB为正方形，此时，四边形AOED是平行四边形，
设AO=OB=2，则BE=EC=2，在Rt△ABE中，AE==，
易证△CEF为等腰直角三角形，则EF=，
∴sin∠CAE==．