Question

如图，已知直线y=-2x+12分别与Y轴，X轴交于A，B两点，点M在Y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（-，）为顶点，且过点M的抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，试问在此抛物线上是否存在点P使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）依题意得出MD⊥AB继而推出∠MDA=∠AOB，∠MAD=∠BAO，然后可证明．
（2）依题意根据勾股定理求出AB的值，首先△ADM∽△AOB，利用线段比求出AM的值．已知顶点坐标代入解析式可求出a值．
（3）点P若存在，只能在y轴左侧的抛物线上，有六种可能．
（1）证明：∵AB是⊙M切线，D是切点，
∴MD⊥AB．
∴∠MDA=∠AOB=90°，
又∠MAD=∠BAO，
∴△ADM∽△AOB．

（2）【解析】
直线y=-2x+12与x轴交点为B（6，0）与y轴交点为A（0，12）．
∴OA=12，OB=6，AB==6
∵△ADM∽△AOB，
∴=，
∴AM===10，
所以点M的坐标为（0，2）．
设顶点为（-，），且过点M的抛物线是y=a（x+）2+，则a=2，
∴a=-2，
∴y=-2（x+）2+，
即y=-2x2-10x+2．

（3）【解析】
在抛物线上存在点P使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似，由抛物线的形状可判断，点P若存在，只能在y轴左侧的抛物线上，且只有六种可能．
∵OA：OB=2；
∴P1A=P3M=2AM=20，P2A=P4M=AM=5．
∴P1（-20，12），P2（-5，12），P3（-20，2），P4（-5，2）．
根据P2A=5，可得P5A=2，进而得出P5（-4，10），
下面求P6的坐标：显然MP6=MD=2，做P6H⊥AM，H为垂足．
由P6M2=MH•MA，得MH==2．
由P6H2=MH•AH，得P6H==4，
∴P6（-4，4），
经检验，只有P4、P5的坐标满足y=-2x2-10x+2．
∴在抛物线y=-2x2-10x+2上存在点P（-5，2），或P（-4，10），使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似．