Question

如图，四边形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3，OE═4，BE=1，点C，D是边OE（与端点O、E不重合）上的两个动点且CD=1．
（1）求边AB的长；
（2）当△AOD与△BCE相似时，求OD的长；
（3）连接AC与BD相交于点P，设OD=x，△PDC的面积记为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer

（1）作BF⊥AO，构造矩形OEBF和直角三角形AFB，利用勾股定理求出AB的长；
（2）分两种情况讨论：①当=时，△AOD∽△BEC；②当=时，△AOD∽△CEB；然后根据相似三角形的性质解答；
（3）作PH⊥OE于H．可得△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，然后根据相似三角形的性质，求出函数解析式．
【解析】
（1）作BF⊥AO，则四边形OEBF为矩形，
∵BF=OE=4，AF=AO-BE=3-1=2；
∴在Rt△AFB中，AB===2．

（2）设OD=a，则CE=4-a-1=3-a，
∵∠AOD=∠BEC=90°，
①当=时，△AOD∽△BEC，
∴=，
∴a=；
②当=时，△AOD∽△CEB，
∴=，
∴a2-3a+3=0，此方程无实数根，
综上所述，OD=．

（3）作PH⊥OE于H．
可得，△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，
∴=，=，CH=PH（x+1），
∵=，
∴=，
∴DH=PH（4-x），
∴CD=CH+DH=PH（x+1）+PH（4-x）=1，
∴PH=．
∴y=CD•PH=×1×=（0＜x＜3）．