Question

已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图）．
（1）直接写出t=1秒时C，Q两点的坐标；
（2）若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

Answer

（1）根据直线方程求得A点的坐标，从而求得OA的长度；然后根据点P、Q两点的运动距离即可求得点C、Q的横坐标；将点C的横坐标代入直线方程即可求得点C的纵坐标；
（2）需要分类讨论：①当△AQC∽△AOB时，点P与点Q重合，OQ=OP；②当△ACQ∽△AOB时，△AOB、△ACQ都是等腰直角三角形，AQ=2CP．
【解析】
（1）∵直线y=-x+3分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴令y=0，则x=3，即A（3，0）．
∴OA=3；
∵点P运动1秒钟，
∴OP=1，
∵点C在直线AB上，
∴yc=-1+3=2，
∴C（1，2），
∵点Q运动时间是1秒钟，且在x轴上，
∴AQ=1，
∴OQ=OA-AQ=2，
∴Q（2，0）．
综上所述，C（1，2），Q（2，0）；

（2）由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分两种情况讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．