Question

如图1，已知：Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，DB=EB．
（1）如图1，点D在△ABC外，点E在AB边上时，求证：AD=CE，AD⊥CE；
（2）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的内部，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请证明；
（3）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的外部，如图3，请直接写出AD，CE的数量关系及位置关系．

Answer

（1）由AB=CB，DB=EB，加上夹角为直角相等，利用SAS可得出△ABD≌△CBE，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等可得出AD=CE，∠BAD=∠BCE，在直角三角形EBC中，两锐角互余，再由对顶角相等，得到三角形AEF中两个角互余，可得出CF垂直于AD，得证；
（2）（1）中的结论AD=CE，AD⊥CE仍然成立，理由为：由一对直角相等，都减去∠ABE，得到∠ABD=∠CBE，再由AB=BC，DB=EB，利用SAS得出△ABD≌△CBE，同（1）可得出AD=CE，AD⊥CE；
（3）结论为：AD=CE，AD⊥CE，证明方法同上．
【解析】
（1）证明：如图1所示，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，∠AEF=∠BEC，
∴∠BAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AD⊥CE；
（2）（1）中的结论AD=CE，AD⊥CE仍然成立，理由为：
证明：如图2所示，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BCE+∠BOC=90°，∠AOF=∠BOC，
∴∠BAD+∠AOF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AD⊥CE；
（3）AD=CE，AD⊥CE，理由为：
证明：如图3所示，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF，
∴∠BCE+∠CMF=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AD⊥CE．