Question

（1）如图1所示，△ABC是正三角形，E，D分别是以C为顶点的CB和AC延长线上的点，且BE=CD，连接DB并延长，交AE于F．求∠AFB的度数；
（2）若将（1）中正△ABC改成正四边形ABCM，如图2 所示，E，D分别是以C为顶点的CB和MC延长线上的点，且BE=CD，连接DB并延长，交AE于F．求∠AFB的度数；
（3）若将（2）中正△ABC改成正五边形ABCMN，如图3 所示，其它条件均不变，则∠AFB的度数为______；
（4）若将（1）中正△ABC改成正n边形ABCM…N，如图4所示，其它条件均不变，根据（1），（2），（3）中所展现的规律用含字母n的代数式表达∠AFB的度数，并说明理由．
（5）若将（2）中正四边形ABCM改成正六边形ABCMKN，其它条件均不变，则∠AFB的度数为______．

Answer

（1）可通过证三角形AEB和BDC全等得出∠E=∠D，再根据∠EBF=∠CBD，那么这两个三角形的外角∠AFB，∠ACB就应该相等．从而得出∠AFB的度数．
（2）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．
（3）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．
（4）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为=；
（5）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．
【解析】
（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）在正四边形ABCM中，∠ABC=∠ACB=90°，AB=BC
∴∠ABE=∠BCD，
∵，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=90°；

（3）在正五边形ABCM中，∠ABC=∠ACB=108°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=108°．
故答案为：108°；

（4）结论：∠AFB=∠MCB=在正n边形ABCM…N中，
∠ABC=∠MCB=，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=；

（5）由（1）同理即可得出：∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=120°．
故答案为：120°．