Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于E，且DE=4，AD=18，∠C=60°．
（1）BC=______；
（2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动．设运动的时间为t秒．
①t=______秒时，四边形PQED是矩形；
②t为何值时，线段PQ与梯形ABCD的边构成平行四边形？
③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函数值可求CE，进而可求CD，再利用等腰梯形的性质可求BC；
（2）①先画图，由于四边形PQED是矩形，那么矩形的对边相等，于是PD=QE，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-4-3t，进而可求t；
②有两种情况：A、是PQ与AB构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得AP=BQ，再根据路程=速度×时间，可得3t=18-2t，进而可求t；
B、是PQ与CD构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得PD=CQ，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-3t，进而可求t；
③根据②中的两种情况，分别求出BQ、DP的值，再与邻边AB、CD比较，从而可判断不存在t值，使②中的平行四边形是菱形．
【解析】
（1）如右图，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=60°，
∴CE==4，∠EDC=30°，
∴CD=2CE=8，
∵四边形ABD是等腰梯形，
∴BC=2CE+AD=8+18=26；

（2）①设运动时间为t时，四边形PQED是矩形，如右图，
∵四边形PQED是矩形，
∴PD=QE，
∴2t=26-4-3t，
解得t=；
②有两种情况：
A、设运动时间为t时，线段PQ与AB构成平行四边形，如右图，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴3t=18-2t，
解得t=，
B、设运动时间为t时，线段PQ与CD构成平行四边形，如右图，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴2t=26-3t，
解得t=，
③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形，
A、当t=时，BQ=3t=，
而AB=CD=8，
所以BQ≠AB，
∴四边形ABQP不是菱形，
B、当t=时，DP=2t=，
而AB=CD=8，
所以DP≠AB，
∴四边形PQCD不是菱形．
故答案是26；．