Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；
（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．

Answer

（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度数和AB的长，可求出OA的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
首先设出点P的坐标，在用表达式表示出△OPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可．
（3）在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可．
【解析】
（1）由已知条件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，
C点的坐标为（，3），
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则，解得，
所求抛物线的解析式为y=-x2+2x．

（2）由题意，设P（，y），则：
OP2=y2+3、CP2=（y-3）2=y2-6y+9、OC2=12；
①当OP=CP时，6y=6，即 y=1；
②当OP=OC时，y2=9，即 y=±3（y=3舍去）；
③当CP=OC时，y2-6y-3=0，即 y=3±2；
∴P点的坐标是（，1）或（，-3）或（，3-2）或（，3+2）；

（3）
过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．
∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OA=2，OB=4，
由三角形面积公式得：4×AR=2×2，
AR=，
∵△MOB的面积等于△OAB面积，
∴在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，
∠NOD=∠BOA=30°，ON=，
则OD=2，
求出直线OB的解析式是y=x，
则这两条直线的解析式是y=x+2，y=x-2，
解，，
解得：，，，
此时，M1（，3）、M2（，）．M3（2，0）．M4（-，-）．