Question

如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2．现分别任作△ABC的内接矩形P₁Q₁M₁N₁，P₂Q₂M₂N₂，P₃Q₃M₃N₃，设这三个内接矩形的周长分别为c₁、c₂，c₃，则c₁+c₂+c₃的值是（ ）

A．6
B．
C．12
D．

Answer

首先过点A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质，可得BD=CD=BC=1，∠B=∠C，由勾股定理可求得AD的长，又可证得△BN1P1∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得N1P1=2BP1，又由△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），BP1=CQ1，则可求得c1的值，同理可求得c2，c3的值，继而求得答案．
【解析】
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=，BC=2，
∴BD=CD=BC=1，∠B=∠C，
∴AD==2，
∵四边形P1Q1M1N1是矩形，
∴P1Q1=M1N1，N1P1=M1Q1，N1P1⊥BC，
∴N1P1∥AD，
∴△BN1P1∽△BAD，
∴BP1：BD=N1P1：AD，
∴N1P1=2BP1，
在△BP1N1和△CQ1M1中，
∵，
∴△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），
∴BP1=CQ1，
∴c1=N1P1+P1Q1+M1Q1+M1N1=2BP1+2P1Q1+2BP1=2（BP1+P1Q1+BP1）=2（BP1+P1Q1+CQ1）=2BC=2×2=4，
同理：c2=c3=c1=4．
∴c1+c2+c3=12．
故选C．