Question

如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，AB=5，过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D．动点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿B-A-D方向向终点D运动，另一动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A-C-B方向向终点B运动，连接PQ．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点，则另一点也立即停止运动．设动点运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长；
（2）当点Q在线段AC上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）请探索：在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得直线PQ与△ABC的一边平行？若存在，请求出所有满足条件t的值；若不存在，请说明理由；
（4）当t=______

Answer

（1）根据勾股定理求得BC=4；然后利用相似三角形△ADC∽△BAC的对应边成比例知=，由此可以求得线段的长度；
（2）作辅助线PM（过点P作PM⊥AC于点M）构建平行线PM∥BC，然后利用平行线截线段成比例知=，即PM=（5-3t），最后由三角形的面积公式即可列出△APQ的面积S关于t的函数关系式；
（3）需要分类讨论：当PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB时，由平行线截线段成比例列出比例式，即可求得相应的t值；
（4）①当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上；②如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．
【解析】
（1）∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4（勾股定理）；
又∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°．
∵∠D+∠CAD=90°，∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC（等量代换），
又∵∠ACD=∠BCA=90°，
∴△ADC∽△BAC，
∴=（相似三角形的对应边成比例），即=，
∴AD=；

（2）如图1，过点P作PM⊥AC于点M．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PM∥BC，
∴=（平行线截线段成比例）．
∵BC=4，AP=5-3t，AB=5，
∴PM=（5-3t），
∴S=AQ•PM=×2t×（5-3t）=-t2+4t（0≤t≤）；

（3）存在，有三种情况：
如图2，当0≤t≤时，令PQ∥BC，得=，解得t=；
如图3，当＜t≤时，令PQ∥AC，得=，解得t=；
如图4，当＜t＜时，令PQ∥AB，得=，解得，t=；
综上所述，当t=或或时，直线PQ与△ABC的一边平行．

（4）当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上，
此时t===．
如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．
过点P作PM⊥BC于点M．则QC∥PM．
∵sin∠B==，即=，解得PM=；
cos∠B==，即=，解得BM=．
∵△ADC∽△BAC，
∴=，即=，解得CD=，
∴DM=CD+BC-BM=-．
∵QC∥PM，
∴=（平行线分线段成比例），即=，解得t=．
则t=或 ．
故答案是：或 ．