Question

如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出下列五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S_△ABF=S_△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是（ ）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer

①本题需先根据已知BE=2ED，得出，再根据AB=CD，即可得出结果．
②本题需先设出数据，再得出AG、AF等于多少，再求出这两个角的正切值是多少，及可求出结果．
③本题需先根据题意得出S△ABF与S△FCG的面积是多少，及可求出结果．
④本题先根据在Rt△AEF中，求出EF，AF的值，即可得出结论．
⑤证出Rt△ABF∽Rt△AOE，即可得到∠AFB=∠AEB．
【解析】
①∵BE=2DE
∴=
∴
∵AB=CD
∴DG=CD
∴DG=CG
故本选项正确
②设BF=1，则CF=2，AB=AD=3，DG=CG=，
过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N，
可得四边形MNCD是矩形，△AME∽ADG，且相似比为，
∵AD=3，
∴AM=2，DM=1，NC=1，
则BN=BC-NC=2，FN=BN-BF=1，
∵MD∥BN，
∴△MDE∽NBE，
且相似比，
∴ME=1，EN=2，
在Rt△EFN中，
EF==，
在Rt△AME中，
AE==，
在Rt△ABF中，
AF=，
∴AE2+EF2=AF2，
∴∠AEF=90°，
∵AG==
∴EG=，
∴tan∠AGF==，
又tan∠FGC=，
∴∠FGC≠∠AGF，
故本选项错误
③∵×

=
∴S△ABF=SFCG
故本选项正确
④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，
由②可知AF=，
∵BE=2ED，
∴BH=2HC，EH=CD=2，
又∵CF=2BF，
∴H为FC的中点，FH=1，

∴在Rt△HEF中：
∵EF=
==
AF=
∴AF=EF
故本选项正确．
⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，
∵，
∴Rt△ABF∽Rt△AOE，
∴∠AFB=∠AEB．
故本选项正确．
故选B．