Question

已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B，D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积s与t的函数关系式；
（3）当D与C重合时，点H为直线DF上一动点，现将△DBH绕点D顺时针旋转60°得到△ACK，则是否存在点H使得△BHK的面积为？若存在，试求出CH的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）分当F在边AB上时和在AC边上时，两种情况进行讨论，分别利用相似三角形的对应边的比相等求得移动的距离，即可求得时间；
（2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分情况进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三角形的面积公式即可得到函数解析式；
（3）首先求得当B，H，K在一条直线上时CK的长度，然后利用：△BHK的面积、△BCK的面积、△XKH的面积、△BCH的面积之间的关系，即可得到一个关于CK的长度的方程，解得CK的长度．
【解析】
（1）当F在边AB上时，如图（1），作AM⊥BC，则AM=AB=×6=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴=，即=，解得：BE=2，则移动的距离是：6+2=8，则t==8；
当F在AC上时，如图（2）同理可得：EC=2，则移动的距离是：2×6-2=12-2=10，则t==10，
故t的值是：8或10；

（2）当0＜t≤6时，重合部分是三角形，如图（3），设AB与BE交于点N，
则BD=t，
则NB=BD=t，ND=BD=×t=t，则s=NB•ND=×t×t=t2；
当6＜t≤8时，重合部分是：△EFD在△ABC左边的部分的面积是：（6-t）2 sin30°•cos30°
=（6-t）2，
右边的部分的面积是：t-9，
则S=18-（6-t）2-t+9=-t2+t++9，
当8＜t＜10时，如图（4），则CD=t-6，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=t-6，
则在直角△THC中，TH=TC=（t-6）=t-9，
则s=18-CD•TH=18-（t-6）（t-9）=-（t-6）2+18；
当10≤t＜12时，重合部分如图（5），
EC=12-t，
则直角△ECJ中，EJ=EC=（12-t），
则s=EC•EJ=×（12-t）2=（12-t）2．

（3）当B，H，K在一条直线上时，CH=CK=BC•tan30°=6×=6，
设CH=x，作HL⊥BC于点L，则HL=x，
△CKH是边长是x的等边三角形，则面积是x2，
△BCH的面积是：BC•HL=3×x=x，
△BCK的面积是：3x．
当0＜CH＜6时，△BHK的面积=△BCK的面积-△CKH的面积-△BCH的面积，即3x-x-x2=4，方程无解．
当CH＞6时，△BHK的面积=△CKH的面积+△BCH的面积-△BCK的面积，即x2+x-3x=4，解得：x=8或-2（舍去），故x=8
总之，CH=8．