Question

某公司开发了某种新型电子产品，现投资50万元用于该电子产品的广告促销．已知该电子产品的本地销量y₁（万台）与本地广告费x（万元）函数关系为；该电子产品的外地销量y₂（万台）与外地广告费x（万元）的关系可用如图所示的抛物线和线段AB表示．其中A为抛物线的顶点．
（1）写出该电子产品的外地销量y₂（万台）与外地广告费x（万元）的函数关系；
（2）求该电子产品的销售总量y（万台）与外地广告费x（万元）之间的函数关系；
（3）如何安排广告费才能使销售总量最大？

Answer

（1）分段求函数关系式：当0≤x≤30时，设抛物线的顶点式y2=a（x-30）2+140，然后把点（0，50）代入计算可得到a=-；当30＜x≤50，y2是常函数；
（2）设外地广告费为x万元，则本地广告费为（50-x）万元，利用本地广告费的变化情况可分三段讨论函数关系式：当0≤x≤20，y=y1+y2=2（50-x）+45-x2+6x+50=-x2+4x+195，
当20＜x≤30，y=y1+y2=3（50-x）-x2+6x+50=-x2+3x+200，当30＜x≤50，y=y1+y2=3（50-x）+140=-3x+290；（注意y1的变量为50-x）
（3）分别利用配方法和一次函数的性质求出（2）中三段函数中函数取最大值时的x的值，然后确定广告费的分配．
【解析】
（1）当0≤x≤30时，抛物线的解析式为y2=a（x-30）2+140，
把（0，50）代入得a×（0-30）2+140=50，解得a=-，
∴y2=-（x-30）2+140=-x2+6x+50，
当30＜x≤50，y2=140，
∴外地销量y2（万台）与外地广告费x（万元）的函数关系为y2=；
（2）设外地广告费为x万元，则本地广告费为（50-x）万元，
由于0≤50-x≤30，则20≤x≤50；30≤50-x≤50，则0≤x≤20，
当0≤x≤20，y=y1+y2=2（50-x）+45-x2+6x+50=-x2+4x+195，
当20＜x≤30，y=y1+y2=3（50-x）-x2+6x+50=-x2+3x+200，
当30＜x≤50，y=y1+y2=3（50-x）+140=-3x+290，
即y=；

（3）当0≤x≤20，y=-x2+4x+195=-（x-20）2+235，
x=20，y最大值为235；
当20＜x≤30，y=-x2+3x+200=-（x-15）2+222.5，
y最大值小于222.5；
当30＜x≤50，y=-3x+290，
x=30，y=-90+290=200，即y的最大值小于200，
所以当x=20时，y最大，50-x=30，
即本地广告费30万元，外地20万元．