Question

由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”，若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B₁，B₂，B₃，…，B_n和C₁，C₂，C₃，…，C_n分别在直线和x轴上，则第一个阴影正方形的面积为    ，第n个阴影正方形的面积为    ．

Answer

首先设B1点坐标为（t，t），由顶点B1在直线上，即可求得t的值，又由这四个全等的直角三角形有一个角为30°，可求得第一个阴影正方形的边长，则可求得第一个阴影正方形的面积；可设正方形A2B2C2C1的边长为a，第一个阴影正方形与第二个阴影正方形的相似比为：a：t=2：3，即可求得答案．
【解析】
如图：设B1点坐标为（t，t），
∴t=-t++1，
解得：t=（+1），
∴A1B1=t=（+1），
∵这四个全等的直角三角形有一个角为30°，
∴B1N1=A1B1=t=（+1），A1N1=A1B1•cos30°=t=×（+1）=，
∴B1P1=A1N1=，
∴N1P1=B1P1-B1N1=-=，
∴第一个阴影正方形的面积是：（）2=；
设正方形A2B2C2C1的边长为a，
∵直线y=-x++1的斜率为-，
∴tan∠B1B2A2==，
在Rt△A2B2B1中，=2，
∴a：t=2：3，
∵N1P1=B1P1-B1N1=（-）t，
同理：N2P2=B2P2-B2N2=（-）a，
∴第一个阴影正方形与第二个阴影正方形的相似比为：a：t=2：3，
∴第一个阴影正方形与第二个阴影正方形的面积比为4：9，
∴第二个阴影正方形的面积为：×=（）2，
∴第三个阴影正方形的面积为：××=（）3，
∴第n个阴影正方形的面积为：（）n．
故答案为：，（）n．