Question

如图，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B、C两点，且AB•AC=4，则k=    ．

Answer

先求出直线与x轴和y轴的两交点D与A的坐标，根据OA与OD的长度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函数值即可求出角ADO的度数，然后过B和C分别作y轴的垂线，分别交于E和F点，联立直线与双曲线方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理即可表示出EB与FC的积，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB与AB的关系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC与AC的关系，根据AB•AC=4列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解析】
对直线方程，令y=0，得到x=b，即直线与x轴的交点D的坐标为（b，0），
令x=0，得到y=b，即A点坐标为（0，b），
∴OA=b，OD=b，
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO==，
∴∠ADO=30°，即直线y=-+b与x轴的夹角为30°，
∵直线y=-x+b与双曲线y=在第一象限交于点B、C两点，
∴-x+b=，即-x2+bx-k=0，
由韦达定理得：x1x2==k，即EB•FC=k，
∵=cos30°=，
∴AB=EB，
同理可得：AC=FC，
∴AB•AC=（EB）（FC）=EB•FC=k=4，
解得：k=．