Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．
（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；
（2）如图2，当点G在点F的右侧时；
①求证：△BDF∽△BGD；
②设AE=x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DFG的面积为，求AE的长．

Answer

（1）由∠ACB=90°，AD=BD，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC为等边三角形，由AC的长求出AD与BD的长，同时求出∠ABC=30°，由BM与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD垂直于EF，得到∠CDE和∠CDF都为直角，在直角三角形EDC中，求出∠DEC为30°，利用两直线平行内错角相等可得出∠BFD也为30°，而由∠CDE-∠CDA求出∠EDA为30°，利用对顶角相等得到∠BDF为30°，即∠BFD=∠BDF，利用等角对等边可得出BD=BF，由BD的长即可求出BF的长；
（2）当点G在点F的右侧时，如图2所示，①由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到CE′∥AB，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到∠BDG=∠BFD，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD得比例，将各自的值代入即可列出y与x的函数关系式，求出x的范围即可；
（3）分两种情况考虑：（i）当点G在点F的右侧时，在y与x的关系式中，令y=6列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示，列出此时y与x的关系式，令y=6列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长，综上，得到所有满足题意的AE的长．
【解析】
（1）∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，
∵AC=4，
∴AD=BD=AC=4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC=∠ACB=90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4；

（2）①证明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，
∴∠ADC=∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D=∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED=∠BFD，
又∵∠CE′D=∠CED，
∴∠BDG=∠BFD，
∵∠DBF=∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
②由△BDF∽△BGD，得=，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD，
又∵BM∥AC，
∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，
在△BFD和△AED中，
∵，
∴△BFD≌△AED（AAS），
∴BF=AE=x，
∴=，
∴BG=，
在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，
根据勾股定理得：BC==4，
∵点D到直线BM的距离d=BC=2，
∴S△DFG=FG•d=（BG-BF）•d，即y=×（-x）×2=-x（0＜x＜4）；

（3）（i）当点G在点F的右侧时，
由题意，得6=-x，
整理，得x2+6x-16=0，
解得x1=2，x2=-8（不合题意，舍去）；
（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：

同理得到S△DFG=FG•d=（BF-BG）•d，即y=x-（x＞4），
由题意，得6=x-，
整理，得x2-6x-16=0，
解得x3=8，x4=-2（不合题意，舍去），
综上所述，AE的值为2或8．