Question

如图所示，直线与y轴相交于点D，点A₁在直线上，点B₁在X轴上，且△OA₁B₁是正三角形，记作第一个正三角形；然后过B₁作B₁A₂∥OA₁与直线相交于点A₂，点B₂在X轴上，再以B₁A₂为边作正三角形A₂B₂B₁，记作第二个正三角形；同样过B₂作B₂A₃∥B₁A₂与直线相交于点A₃，点B₃在x轴上，再以B₂A₃为边作正三角形A₃B₃B₂，记作第三个正三角形；…依此类推，则第n个正三角形的顶点A_n的纵坐标为（ ）
A．2^n-1
B．2^n-2
C．
D．

Answer

可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO=30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3…都是等腰三角形，且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．
【解析】
设直线与x轴相交于C点．
令x=0，则y=；  令y=0，则x=-1．
∴OC=1，OD=．
∵tan∠DCO==，∴∠DCO=30°．
∵△OA1B1是正三角形，∴∠A1OB1=60°．
∴∠CA1O=∠A1CO=30°，∴OA1=OC=1．
∴第一个正三角形的高=1×sin60°=；
同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2，高=2×sin60°=；
         第三个正三角形的边长=1+1+2=4，高=4×sin60°=2；
         第四个正三角形的边长=1+1+2+4=8，高=8×sin60°=4；
…
        第n个正三角形的边长=2（n-1），高=2（n-2）×．
∴第n个正三角形顶点An的纵坐标是2（n-2）×．
故选D．