Question

如图，抛物线y=-x²+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等分，设分点分别为P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₁，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，Q₃，…，Q₂₀₁₁，把Rt△OP₁Q₁，Rt△P₁P₂Q₂，Rt△P₂P₃Q₃…，Rt△P₂₀₁₀P₂₀₁₁Q₂₀₁₁的面积分别记为S₁，S₂，S₃…，S₂₀₁₁，则=    ．

Answer

S1、S2、…、S2011中，所有三角形在y轴上的直角边都是1，因此只需考虑它们的另一条直角边即可；也可以看作，这些三角形面积的平方和等于所有Q点横坐标的平方和，可先表示出点Q的横坐标的平方，结合等差数列即可求出代数式的值．
【解析】
设点Q（，y）；（0＜y＜2012）
那么 Qn（，n）．（1≤n≤2011）
S12=（2012-1）=×2011
S22=（2012-2）=×2010
S32=（2012-3）=×2009
…
S20112=（2012-2011）=×1
∴S12+S22+S32+…+S20112=（2011+2010+2009+…+1）=×=
故填：．