Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点B（，0）、A（m，0）（0＜m＜），以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点，连接BE与AD相交于点F．
（1）求证：BF=DO；
（2）若，试求经过B、F、O三点的抛物线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线l在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线BE向上平移t个单位与新图象有两个公共点，试求t的取值范围．

Answer

（1）本题可通过全等三角形来证简单的线段相等，三角形ABF和ADO中，根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一组直角和AB=AD，因此两三角形全等，即可得出BF=OD的结论；
（2）如果G是三角形BDO的外心，根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2，AB=OB-OA=2+m，因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值，即可得出OA的长，而在（1）得出的全等三角形中，可得出OA=FG，据此可求出F点坐标．已知了B、F、O三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）当直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点，并且0＜t＜OG，利用已知条件求出OG的长即可求出t的取值范围；当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为，求出方程组的解，进而求出t的取值范围．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°
在△ABF和△ADO中
∵∠ABF=∠ADO，AB=AD，∠BAF=∠DAO
∴△ABF≌△ADO
∴BF=DO；

（2）∵A（m，0），B（），
∴AO=m，BO=，AB=m，
∵弧AE=弧DE，
∴∠EBO=∠EBD，
∵∠DAB=90°，
∴BD为直径∴∠BEO=∠BED=90°，
又∵BE=BE，
∴△BEO≌△BED，
∴BD=BO=，
在Rt△BCD中BD=AB，
∴=，
∴m=，
∵△ABF≌△ADO，
∴AF=AO=m=，
∴F点的坐标为，
∵抛物线l经过O（0，0），B（），
设l的解析式为，
将F代入得：，
∴抛物线l的解析式为；

（3）①如图，设直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点．∴0＜t＜OG
设直线BE的解析式为y=kx+m，将B（），F代入易求出：，
当x=0时，，
∴，
此时t的取值范围是：．
②如图，当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为，则方程组有一个解，

于是方程有两个相等的实数根，求出，
此时直线BE的解析式为，
直线BE与y轴的交点为（0，），
∴此时t的取值范围是：．
综上所述：t的取值范围为：或．