Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，求的值．

Answer

首先过点C作CE⊥BA交BA延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，由AB=3，AC=2，∠BAC=120°，易求得EC的长，继而求得△ABC的面积，又由AD是∠BAC的角平分线，由角平分线的性质，可得DF=DG，继而求得DF的长，然后求得AD的长，继而求得答案．
【解析】
过点C作CE⊥BA交BA延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，
∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，
∴∠EAC=60°，
∴AE=AC•cos∠EAC=2×=1，EC=AC•sin∠EAC=2×=，
∴S△ABC=AB•EC=×3×=，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DF=DG，∠FAD=∠BAC=60°，
∴S△ABC=AB•DF+AC•DG=DF（AB+AC）=×DF×（2+3）=，
∴DF=，
∴在Rt△ADF中，AD===，
∴==．