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如图,在直角坐标系中,已知点P的坐标为(1,0),将线段OP按逆时针方向旋转45...

如图,在直角坐标系中,已知点P的坐标为(1,0),将线段OP按逆时针方向旋转45°,将其长度伸长为OP的2倍,得到线段OP1;再将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;如此下去,得到线段OP3,OP4,…,OPn(n为正整数)
(1)求点P6的坐标;
(2)求△P5OP6的面积;
(3)我们规定:把点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律,请你猜想点Pn的“绝对坐标”,并写出来.

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(1)OP6旋转了6×45°=270°,得到点P6落在y轴的负半轴,而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍,故其坐标为P6(0,-26); (2)根据两组对应边的比相等,且它们的夹角也相等,则这两个三角形相似得到△POP1∽△P1OP2∽△Pn-1OPn.然后求出S△P0OP1=×1×=,再求出,利用相似三角形面积的比等于它们的相似比即可得到△P5OP6的面积; (3)分类讨论:令旋转次数为n,①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点Pn落在x轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(2n,0);②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数),点Pn落在各象限的平分线上,此时,点Pn的绝对坐标为(×2n,×2n);③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点Pn落在y轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(0,2n). 【解析】 (1)根据旋转规律,点P6落在y轴的负半轴,而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍,故其坐标为P6(0,-26),即P6(0,-64); (2)由已知可得,△POP1∽△P1OP2∽△Pn-1OPn. 设P1(x1,y1),则y1=2sin45°=, ∴=×1×=, 又∵, ∴, ∴; (3)由题意知,OP旋转8次之后回到x轴正半轴,在这8次中,点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点Pn的坐标可分三类情况:令旋转次数为n, ①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点Pn落在x轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(2n,0); ②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数),点Pn落在各象限的平分线上,此时,点Pn的绝对坐标为(×2n,×2n),即(2n-1,2n-1); ③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点Pn落在y轴上, 此时,点Pn的绝对坐标为(0,2n).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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