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如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y...

如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.

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(1)已知了抛物线的解析式,当y=0时可求出A,B两点的坐标,当x=0时,可求出C点的坐标.根据对称轴x=-可得出对称轴的解析式. (2)PF的长就是当x=m时,抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差.可先根据B,C的坐标求出BC所在直线的解析式,然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中,求得出两函数的值的差就是PF的长. 根据直线BC的解析式,可得出E点的坐标,根据抛物线的解析式可求出D点的坐标,然后根据坐标系中两点的距离公式,可求出DE的长,然后让PF=DE,即可求出此时m的值. (3)可将三角形BCF分成两部分来求: 一部分是三角形PFC,以PF为底边,以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积. 一部分是三角形PFB,以PF为底边,以P、B两点的横坐标差的绝对值为高,即可求出三角形PFB的面积. 然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积,可求出关于S、m的函数关系式. 【解析】 (1)A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 抛物线的对称轴是:直线x=1. (2)①设直线BC的函数关系式为:y=kx+b. 把B(3,0),C(0,3)分别代入得: 解得:k=-1,b=3. 所以直线BC的函数关系式为:y=-x+3. 当x=1时,y=-1+3=2, ∴E(1,2). 当x=m时,y=-m+3, ∴P(m,-m+3). 在y=-x2+2x+3中,当x=1时,y=4. ∴D(1,4) 当x=m时,y=-m2+2m+3, ∴F(m,-m2+2m+3) ∴线段DE=4-2=2, 线段PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m ∵PF∥DE, ∴当PF=ED时,四边形PEDF为平行四边形. 由-m2+3m=2,解得:m1=2,m2=1(不合题意,舍去). 因此,当m=2时,四边形PEDF为平行四边形. ②设直线PF与x轴交于点M,由B(3,0),O(0,0),可得:OB=OM+MB=3. ∵S=S△BPF+S△CPF 即S=PF•BM+PF•OM=PF•(BM+OM)=PF•OB. ∴S=×3(-m2+3m)=-m2+m(0≤m≤3).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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