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已知:如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3厘米,CB=4厘米.两个动点P、Q...

已知:如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3厘米,CB=4厘米.两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动.当点Q运动到点A时,P、Q两点运动即停止.点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒,设点P运动时间为t(秒).
(1)当时间t为何值时,以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分)等于2厘米2
(2)当点P、Q运动时,阴影部分的形状随之变化.设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(厘米2),求出S与时间t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(3)点P、Q在运动的过程中,阴影部分面积S有最大值吗?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.

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(1)由于PC=3-t,CQ=2t,∠C=90°,可表示S△PCQ,从而求出t的值; (2)根据运动状态,分三种可能情况:①当0<t≤2时,②当2<t≤3时,③当3<t≤4.5时,分别表示阴影部分面积,在②中,S=S△ABC-S△APQ,由,∠C=90°,AC=3厘米,CB=4厘米,用勾股定理可求AB=5厘米,作PH⊥AB于H,利用相似比表示PH,再表示面积; (3)用(2)的结论,分别求出每一种情况下的最大值(注意自变量取值范围),再比较,求出整个过程中的最大值. 【解析】 (1) S△PCQ=PC•CQ=(3-t)•2t=(3-t)t=2, 解得t1=1,t2=2. ∴当时间t为1秒或2秒时,S△PCQ=2厘米2; (2)①当0<t≤2时,S△PCQ=PC•CQ=(3-t)•2t=(3-t)t,S=-t2+3t; ②当2<t≤3时,AQ=9-2t, 作PH⊥AB于H,则△AHP∽△ACB, ∴PH:BC=AP:AB ∴PH=t, ∴S=S△ABC-S△APQ,即S=t2-t+6; ③在3<t≤4.5时,CP=t-AC=t-3,则BP=BC-PC=4-(t-3)=7-t, ∵△ABC∽△PBH, ∴=,即=, 故PH=, 又∵BQ=2t-BC=2t-4, ∴S=BQ•PH=(2t-4)•=-t2+t-; (3)有最大值. ①在0<t≤2时,S=-t2+3t=-(t-)2+,当t=,S有最大值,S1=; ②在2<t≤3时,S=t2-t+6=(t-)2+,当t=,S有最大值,S2=; ③在3<t≤4.5时,S=-t2+t-=-(t-)2+,当t=,S有最大值,S3=; ∵S2<S1<S3 ∴t=时,S有最大值,S最大值=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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