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已知:如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=...

已知:如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=∠CBP,BE=BP.
(1)求证:△CPB≌△AEB;
(2)求证:PB⊥BE;
(3)若PA:PB=1:2,∠APB=135°,求cos∠PAE的值.

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(1),(2)根据条件∠ABE=∠CBP,BE=BP,BC=AB,可证△CBP≌△ABE,所以∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°,即PB⊥BE. (3)连接PE,则BE=BP,∠PBE=90°,∠BPE=45°,设AP为k,利用题中的比例式和勾股定理可求得PE=2k,AE=3k,所以cos∠PAE==. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=AB,(1分) ∵∠CBP=∠ABE,BP=BE, ∴△CBP≌△ABE. (2)证明:∵∠CBP=∠ABE, ∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°, ∴PB⊥BE. (1)、(2)两小题可以一起证明. 证明:∵∠CBP=∠ABE, ∴∠PBE=∠ABE+∠ABP(1分) =∠CBP+∠ABP =90°(2分) ∴PB⊥BE.(3分) 以B为旋转中心,把△CBP按顺时针方向旋转90°.(4分) ∵BC=AB,∠CBA=∠PBE=90°,BE=BP.(5分) ∴△CBP与△ABE重合, ∴△CBP≌△ABE.(6分) (3)【解析】 连接PE, ∵BE=BP,∠PBE=90°, ∴∠BPE=45°,(7分) 设AP为k,则BP=BE=2k, ∴PE2=8k2,(8分) ∴PE=2k, ∵∠BPA=135°,∠BPE=45°, ∴∠APE=90°,(9分) ∴AE=3k, 在直角△APE中:cos∠PAE==.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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