Question

如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=8，AB=12，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer

（1）设圆O的半径为r，连接OD，由BC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD垂直于BC，由AC垂直于BC，得到一对直角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的三角形相似，可得出三角形OBD与三角形ABC相似，由相似得比例，将AC，AB，OD及OB代入，得到关于r的方程，求出方程的解即可求出圆O的半径；
（2）四边形BDEF为菱形，理由为：由平行四边形的对角相等可得出∠B=∠DEF，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍得到∠DOB为∠DEF的2倍，等量代换可得出∠DOB为∠B的2倍，由三角形OBD为直角三角形，利用三角形的内角和定理得到∠DOB为60°，再由平行四边形的对边平行得到DE与AB平行，根据两直线平行内错角相等可得出∠EDO为60°，再由OE=OD，可得出三角形OED为等边三角形，根据等边三角形的三边相等可得出ED=EO=OF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到OFDE为平行四边形，由OE=OF，利用邻边相等的平行四边形为菱形可得出四边形OFDE为菱形．
【解析】
（1）设⊙O的半径为r，连接OD，

∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB，
∵∠B=∠B，
∴△OBD∽△ABC，…（2分）
又∵AC=8，AB=12，
∴=，即，
解得：r=，
∴⊙O的半径为；…（4分）

（2）四边形OFDE是菱形，理由为：…（5分）
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠B，
∵∠DEF=∠DOB，
∴∠B=∠DOB，
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴OD=DE，
∵OD=OF，
∴DE=OF，又DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形，…（7分）
∵OE=OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．…（8分）