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已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将...

已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
(Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;
(Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;
(Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标.

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(Ⅰ)因为折叠后点B与点A重合,那么BC=AC,可先设出C点的坐标,然后表示出BC,AC,在直角三角形OCA中,根据勾股定理即可求出C点的纵坐标,也就求出了C点的坐标; (Ⅱ)方法同(Ⅰ)用OC表示出BC,B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x,y的关系式.由于B′在OA上,因此有0≤x≤2,由此可求出y的取值范围; (Ⅲ)根据(Ⅰ)(Ⅱ)的思路,应该先得出OB″,OC的关系,知道OA,OB的值,那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现.∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D,OB的内错角,又因为∠OBA=∠CB″D,因此∠B″CO=∠OBA,即CB″∥BA,由此可得出两三角形相似,得出OC,OB″的比例关系,然后根据(1)(2)的思路,在直角三角形OB″C中求出OC的值,也就求出C点的坐标了. 【解析】 (Ⅰ)如图①,折叠后点B与点A重合,则△ACD≌△BCD. 设点C的坐标为(0,m)(m>0),则BC=OB-OC=4-m. ∴AC=BC=4-m. 在Rt△AOC中,由勾股定理,AC2=OC2+OA2, 即(4-m)2=m2+22,解得m=. ∴点C的坐标为(0,); (Ⅱ)如图②,折叠后点B落在OA边上的点为B′, ∴△B′CD≌△BCD. ∵OB′=x,OC=y, ∴B'C=BC=OB-OC=4-y, 在Rt△B′OC中,由勾股定理,得B′C2=OC2+OB′2. ∴(4-y)2=y2+x2, 即y=-x2+2. 由点B′在边OA上,有0≤x≤2, ∴解析式y=-x2+2(0≤x≤2)为所求. ∵当0≤x≤2时,y随x的增大而减小, ∴y的取值范围为≤y≤2; (Ⅲ)如图③,折叠后点B落在OA边上的点为B″,且B″D∥OC. ∴∠OCB″=∠CB″D. 又∵∠CBD=∠CB″D, ∴∠OCB″=∠CBD, ∵CB″∥BA. ∴Rt△COB″∽Rt△BOA. ∴, ∴OC=2OB″. 在Rt△B″OC中, 设OB″=x(x>0),则OC=2x. 由(Ⅱ)的结论,得2x=-x2+2, 解得x=-8±4. ∵x>0, ∴x=-8+4. ∴点C的坐标为(0,8-16).
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考点分析:
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先化简,再求值:manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网-2),其中x=2.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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