Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为E，交⊙O于点F，CF=4，求弧BC的长度．（结果保留π）

Answer

（1）连接OC．利用切线的性质推知△OCD为直角三角形，然后在Rt△OCD中由直角三角形的性质求得圆心角∠COB=60°；最后由圆周角定理求得∠A的度数即可；
（2）利用垂径定理、特殊角的三角函数值求得⊙O的半径OC=4；然后根据弧长的计算公式来求弧BC的长度．
【解析】
（1）连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°；
又∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，即∠COB=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠COD=30°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）；

（2）∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，CF=4，
∴CE=CF=2（垂径定理）；
由（1）知，∠COB=60°，
∴OC==4，
∴弧BC的长度为：=．