Question

如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合
（1）直接写出点A、B的坐标：A（______，______）、B（______，______）；
（2）若抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是______；
（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；
（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．

Answer

（1）由OB长，能直接得到点B的坐标；在Rt△OAB中，已知OB、BA（即BC长）长，由勾股定理可得到OA的长，即可确定点A的坐标．
（2）根据（1）的结论，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．
（3）根据OA、OB以及AD、CD的长，不难发现∠BAO=∠CAD，那么若题干提到的两个三角形若相似，必须满足夹这对相等角的两组对应边成比例，所以分两种情况，列比例式求解即可．
（4）此题涉及的情况较多，大致分三种情况：点P在x轴下方（分左右两侧共两种情况）、点P在x轴上方；可过点P作x轴的垂线，通过规则图形间的面积和差关系得出关于△ABP的函数关系式，再由函数的性质得到△ABP的面积最大值．
【解析】
（1）由OB=8，得：B（0，-8）．
∵BA由BC旋转所得，∴BA=BC=10；
在Rt△BAO中，OB=8，BA=10，则：OA==6，即：A（6，0）．
∴A（6，0）、B（0，-8）．

（2）抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，则：
，
解得
故这条抛物线的解析式：y=-x2+x-8．

（3）存在．
设M（m，-m2+m-8），则N（m，0），MN=|-m2+m-8|，NA=6-m，又DA=4，CD=8；
①若点M在N上方，=，则△AMN∽△ACD；
∴=，即 m2-16m+60=0，解得 m=6或m=10．
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符．
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似．
②若点M在点N下方，=，则△AMN∽△ACD；
∴=，即 2m2-17m+30=0，解得 m=或m=6；
当m=时符合条件；
∴此时存在点M（，-），使△AMN与△ACD相似．
综上所述，存在点M（，-），使得△AMN与△ACD相似．

（4）设P（p，-p2+p-8），在y=-x2+x-8中，令y=0，得x=4或x=6；
∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：
①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H，则OH=p，HA=6-p，PH=p2-p+8；
∴S△ABP=S△OAB-S梯形OBPH-S△APH
=•6•8-•（p2-p+8）•p-•（6-p）•（p2-p+8）
=-p2+6p=-（p-3）2+9
∴当≤x＜4时，S△ABP随p的增大而减小；
∴当x=时，S△ABP取最大值，且最大值为．
②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G；
则BH=p，HG=6-p，PH=-p2+p-8+8=-p2+p．
∴S△ABP=S△BPH+S梯形PHGA-S△ABG
=•（-p2+p）•p+•（-p2+p+8）•（6-p）-•6•8
=-p2+6p=-（p-3）2+9
∴当4≤x＜6时，S△ABP随p的增大而减小；
∴当x=4时，S△ABP取得最大值，且最大值为8．
③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H；则OH=p，HA=p-6，PH=p2-p+8．
∴S△ABP=S梯形OBPH-S△OAB-S△APH
=•（p2-p+8）•p-•6•8-•（p-6）•（p2-p+8）
=p2-6p=（p-3）2-9
∴当6≤x≤7时，S△ABP随p的增大而增大；
∴当x=7时，S△ABP取得最大值，最大值为7；
综上所述，当x=时，S△ABP取得最大值，最大值为．