Question

已知：正方形ABCD的边长为4，⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连接TO交⊙O于点S．

（1）如图1，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD内部时，连接DT、DS．
①试判断线段DT、DS的数量关系和位置关系；    
②求AS+AT的值；
（2）如图2，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时，连接DT、DS．求AS-AT的值；
（3）如图3，延长DA到点E，使AE=AD，当⊙O经过A、E两点时，连接ET、ES．根据（1）、（2）计算，通过观察、分析，对线段
AS、AT的数量关系提出问题并解答．

Answer

（1）①根据正方形的性质得∠TAD=45°，再根据圆周角定理和推论得∠SDT=90°，∠TSD=∠TAD，易得△DST为等腰直角三角形，则DT=DS，DT⊥DS；
②由∠SDT=∠ADC=90°得∠SDA=∠CDT，易证得△DAS≌△DCT，得AS=TC，所以AS-AT=TC-AT=AC=；
（2）同样可证得△DST为等腰直角三角形，得到DS=DT，而∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，则△DAS≌△DCT，AS=TC，得AS-AT=TC-AT=AC=4；
（3）提出的问题是：求 AT-AS 的值．在TA上截取TF=AS，连接EF，易证得△EST为等腰直角三角形，得到SE=TE，易证△EAS≌△EFT，得到∠SEA=∠TEF，AE=EF，
得到△AEF为等腰直角三角形，则AF=AE，而AE=AD=4，于是有AT-AS=AT-TF=AF=．
【解析】
（1）①线段DT、DS的数量和位置关系分别是：DT=DS，DT⊥DS．理由如下：
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠TAD=45°，
∵TS为直径，
∴∠SDT=90°，
又∵∠TSD=∠TAD，
∴∠TSD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DT=DS，DT⊥DS；
②∵∠SDT=∠ADC=90°，
∴∠SDA=∠CDT，
又∵TS为直径，
∴∠SAT=90°，
∴∠SAD=45°，
∴∠SAD=∠DCT，
而DA=DC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS+AT=AC，
而正方形ABCD的边长为4，
∴AC=4，
∴AS+AT=；
（2）∵TS为直径，
∴∠SAT=90°，∠SDT=90°，
∴∠SAC=90°，
而∠CAD=45°，
∴∠SAD=45°，
∴∠STD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DS=DT，
又∵∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS-AT=TC-AT=AC=；
（3）提出的问题是：求 AT-AS 的值．解答如下：
在TA上截取TF=AS，连接EF，如图，
∵∠TAE=∠BAC=45°，
∴△EST为等腰直角三角形，
∴SE=TE，
又∵∠ASE=∠ETF，
∴△EAS≌△EFT，
∴∠SEA=∠TEF，AE=EF，
而∠TES=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=AE，
∵AE=AD=4，
∴AT-AS=AT-TF=AF=．