Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：
①△BCD是等腰三角形；②；③；④S_△EFB=2S_△ADE；⑤AE=．
其中，正确结论的个数为（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

根据折叠的性质得到∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90°，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，再由AD∥BC得到∠ADB=∠CBD，则∠CBD=∠BDC，可判断△BCD是等腰三角形；设CE=x，则CB=x+1，利用勾故故定理可得到关于x的方程（x+1）2=22+x2，解得x=，然后利用梯形的面积公式可计算出S梯形ABCD=（1+）×2=；再在Rt△BCE中，利用余弦的定义可计算出cos∠C===；易证得Rt△ABF∽Rt△DAF，利用相似的性质得到S△ABF：S△DAF=AB2：AD2=4：1，而S△ABF=S△BEF，S△DAF=S△DEF，则有S△EFB=2S△ADE；最后利用面积法可计算出AE的长为．
【解析】
∵三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，
∴∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90°，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDC，
∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；
设CE=x，则CB=x+1，
在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2，即（x+1）2=22+x2，解得x=，
∴BC=1+x=，
∴S梯形ABCD=（1+）×2=，所以②正确；
在Rt△BCE中，cos∠C===，所以③错误；
∵AF⊥BD，
∴Rt△ABF∽Rt△DAF，
∴S△ABF：S△DAF=AB2：AD2=4：1，
而S△ABF=S△BEF，S△DAF=S△DEF，
∴S△EFB=2S△ADE，所以④正确；
∵S四边形ABED=BD•AE=2S△ABD，
而BD==，
∴וAE=2××2×1，
∴AE=，所以⑤错误．
故选B．