Question

如图1，在同一平面内，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC与DF重合，△ABC始终保持不动．
（1）将△DEF沿CB（EB）方向平移，直到点E与点B重合为止，设平移的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，将△DEF绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△D′E′F，设D′E′与AC交于点M，当∠ECE′=∠EAC时，求线段CM的长；
（3）如图3，在△DEF绕点C逆时针旋转的过程中，若设D′F所在直线与AB所在直线的交点为N，是否存在点N使△ACN为等腰三角形，若存在，求出线段BN的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）画出图形，分0≤x≤3和3＜x≤6两种情况讨论，①0≤x≤3时，构造梯形JFCH和梯形HGCI，利用相似三角形的性质，表示出HG、JF的长，再根据梯形面积公式求解；②当3＜x≤6时，构造等腰三角形HBG，利用相似三角形的性质，表示出HG的长，再根据三角形面积公式求解；
（2）由旋转的性质得到△DEF≌△DE′F′，从而得到∠ACE′=∠E′，进而得到CM=ME′，CM=ME′，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出C M=ME′=；
（3）分三种情况进行讨论：①若AN=NC，则点N是AC的中垂线与AB的交点；②若AN=AC，则点N是以A为圆心、AC为半径的圆与AB的交点；③若AC=NC，则点N是以C为圆心、AC为半径的圆与AB的交点．
【解析】
（1）当0≤x≤3时，如图①，作HG⊥FC，
则=，
即=，
JF=4-x．
又有，=，
即=，
HG=4-x，
则S梯形JFGH=（4-x+4-x），
即y=2S梯形JFGH=-x2+4x，
当3＜x≤6时，如图②，作HG⊥BE于G，
则=，
即=，
HG=4-x，
则y=（6-x）（4-x），
．

（2）在Rt△DEF中，∠DFE=90°，
∴∠ECE′+∠ACE′=90°，∠EAC+∠E=90°，
又∵∠ECE′=∠EAC，
∴∠ACE′=∠E，
∵△DEF旋转得到△DE′F′，
∴∠E=∠E′，DE=D′E′，
∴∠ACE′=∠E′，
∴CM=ME′，
同理CM=MD′，
∴CM=ME′=MD′，
在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，
∴DE=，
∴D′E′=DE=5，
∴C M=ME′=．

（3）存在．
①若AN=NC，则点N是AC的中垂线与AB的交点；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠BAC+∠B=90°，∠ACN+∠BCN=90°，
又∵AN=NC，
∴∠BAC=∠ACN，
∴∠B=∠BCN，
∴BN=NC，
又∵AN=NC，
∴BN=AN=；
②若AN=AC，则点N是以A为圆心、AC为半径的圆与AB的交点；
（ⅰ）当点N在线段AB上时，
∵AC=4，
∴AN=4，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴AB=DE=5，
∴BN=AB-AN=1；
（ⅱ）当点N在线段BA的延长线上时，如答图③，
∵AN=AC=4，
∴BN=AB+AN=9．
③若AC=NC，则点N是以C为圆心、AC为半径的圆与AB的交点，过点C作CH⊥AB于H如图④，
由探究得△ACH∽△ABC，
∴，
∴，
∵AC=NC，CH⊥AB，
∴AH=HN，
∴AN=2AH=，
∴BN=AN-AB=．
综上所述，存在这样的点N，使得△ACN为等腰三角形，所求BN的长为1或9或或．