Question

如图：已知反比例C₁：；C₂：，且k₁＞k₂＞0，点P是双曲线C₁上的一点，过P点引x、y轴的平行线交双曲线C₂于A、B两点，连接AB．
（1）当取k₁=4，k₂=1，
①点P坐标为（2，2）时，则S_三角形ABP=______；
②点P坐标为（1，4）时，S_三角形ABP=______．
（2）通过观察、思考（1）的计算结果，你能猜想到△ABP的面积有何规律或特征？并请你用含k₁、k₂的代数式表示△ABP的面积．

Answer

（1）根据AP∥x轴，BP∥y轴，得到AP⊥PB，从而知道，点B、点P横坐标相同，点A、点P纵坐标相同，求出A点横坐标xA，B点纵坐标yB，再利用P点坐标，求出AP、BP的长，从而得到三角形的面积．
（2）根据AP∥x轴，BP∥y轴，得到AP⊥PB，从而知道，点B、点P横坐标相同，点A、点P纵坐标相同，设点P的横坐标为a，则纵坐标为，代入解析式求出A（，），B（a，），从而求出AP和BP的长，表示出S三角形ABP．
【解析】
（1）当取k1=4，k2=1时，反比例C1：；C2：可化为C1：y=，C2：y=；
∵AP∥x轴，BP∥y轴，
∴AP⊥PB，
∴点B、点P横坐标相同，点A、点P纵坐标相同，
①点P坐标为（2，2）时，设A点坐标为（xA，2），B点坐标为（2，yB），
把A点坐标（xA，2）代入y=得，xA=；
把B点坐标（2，yB）代入y=得，yB=，
∴S三角形ABP=×AP×BP
=×（2-）×（2-）
=，
②点P坐标为（1，4）时，设A点坐标为（xA，4），B点坐标为（1，yB），
把A点坐标（xA，4）代入y=得，xA=；
把B点坐标（1，yB）代入y=得，yB=1，
∴S三角形ABP=×AP×BP
=×（1-）×（4-1）
=．
故答案为案为，．

（2）不论点P在双曲线C1上的任意处，△ABP的面积等于一个定值．
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴∠APB=90°，
设点P的横坐标为a，则纵坐标为，
又∵A与P的纵坐标相同，
∴，，
∴A（，），
∵B与P的横坐标相同，
∴，
∴B（a，）．
AP=a-==，PB=-=．
∴×=．